Propiedades de los numeros complejos

Suma y producto de números complejos

Dados dos números complejos a + b.i y c + d.i se definen su suma y su producto como sigue:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
El producto puede hacerse operando con i como si fuese un número real y teniendo en cuenta que i² = -1.
(a + bi)(c + di) = ac + a.d.i + b.c.i + b.d.i² = ac + i(ad + bc) + bd.(-1) = ac - bd + i (ad + bc)

Propiedades de la suma de números complejos

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

· Conmutativa

Dados dos números complejos a + b.i y c + d.i se tiene la igualdad:
(a + b.i) + (c + d.i) = (c + d.i) + (a + b.i)
Ejemplo:
(2 - 3 i) + (-3 + i) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2 i
(-3 + i) + (2 - 3 i) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2 i

· Asociativa

Dados tres complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i , se cumple:
[(a + b.i) + (c + d.i)] + (e + f.i) = (a + b.i) + [(c + d.i) + (e + f.i)]
Ejemplo:
(5 + 2 i) + (3 - 4 i)] + (-9 + 8 i) = (8 - 2 i) + (-9 + 8 i) = -1 + 6 i
(5 + 2 i) + [(3 - 4 i) + (-9 + 8 i)] = (5 + 2 i) + (-6 + 4 i) = -1 + 6 i

· Elemento neutro

El elemento neutro es 0 + 0 i ,puesto que
(a + b.i) + (0 + 0 i) = (a + 0) + i (b + 0) = a + b.i
El número 0 + 0 i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

· Elemento simétrico

El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + b.i es (- a - b.i):
(a + b.i) + (-a - b.i) = 0 + 0 i= 0
Ejemplo:
El simétrico de 2 - 3 i es -2 + 3.i pues (2 - 3 i) + (-2 + 3 i) = 0

Propiedades del producto de complejos

· Conmutativa

Dados dos complejos a + b.i y c + d.i , se cumple que:
(a + b.i).(c + d.i) = (c + d.i) (a + b.i)
Ejemplo:
(7 - i).(5 + 2.i) = 35 + 14.i - 5.i -2.i² = 35 + 9.i - 2.(-1) = 37 + 9.i
(5 + 2.i).(7 - i) = 35 - 5.i + 14.i -2.i² = 35 + 9.i - 2.(-1) = 37 + 9.i

· Asociativa

Dados los complejos a + bi, c + d.i y e + f.i se cumple que:
[(a + b.i) (c + d.i)](e + f.i) = (a + b.i) [(c + d.i) (e + f.i)]
Ejemplo:
[(2 - 3.i).(5 + i)].(4 - 7.i) = (10 + 2.i - 15.i - 3.i²).(4 - 7.i) = (13 - 13.i).(4 - 7.i) = 52 - 91.i - 52.i + 91.i² =
= - 39 - 143.i
(2 - 3.i).[(5 + i).(4 - 7.i)] = (2 - 3.i).(20 - 35.i + 4.i - 7.i²) = (2 - 3.i).(27 - 31.i) = 54 - 62.i - 81.i + 93.i² =

· Elemento neutro

El elemento neutro del producto es 1 + 0 · i = 1, puesto que para cualquier complejo
a + b.i , (a + b.i) (1 + 0. i) = (a + b.i).1 = a + b.i.
El elemento neutro es el uno.

· Distributiva del producto con respecto a la suma

Dados tres números complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i, se cumple:
(a + b.i).[(c + d.i) + (e + f.i)] = (a + b.i) (c + d.i) + (a + b.i).(e + f.i)
Ejemplo:
(1 - 2 i) [3 i + (2 - 7 i)] = (1 - 2 i) (2 - 4 i) = 2 - 4 i - 4 i + 8 i² = -6 - 8 i
(1 - 2 i) 3 i + (1 - 2 i) (2 - 7 i) = (3 i - 6 i²) + (2 - 7 i - 4 i + 14 i²) = (3 i + 6) + (-12 - 11 i) = - 6 - 8 i
El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.
El conjunto de los números complejos se simboliza por C,o también (C, +, ·).

· Elemento simétrico respecto del producto

Dado un complejo cualquiera a + b.i , distinto de 0 + 0 i , existe otro complejo que, multiplicado por él,da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0 i.
Demostración:
Se intentará calcular el inverso de a + b.i , x + y.i.
Ha de verificarse que (a + b.i) (x + y.i) = 1 + 0 i
(a + b.i).(x + y.i) = (ax - by) + (ay + bx) i . Por tanto ha de ser:
ax - by = 1, multiplicando por a se tiene: a² x - aby = a
bx + ay = 0, multiplicando por b se tiene: b² x + aby = 0
Sumando (a² + b²).x = a x = a/(a² + b²)
Despejando y en la segunda ecuación:
NUMEROS COMPLEJOS
El inverso de un número complejo z = a + b.i , se suele denotar por 1/z ó z-1.
Por tanto, si z = a + b.i ,
1/z = a/(a² + b²) - b.i/(a² + b²)
El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativo con la suma y el producto definidos.


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