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Dada una
matriz cuadrada A, si existe otra matriz B
del mismo orden que verifique: A . B = B . A = I ( I =
matriz identidad ), se dice que B es la matriz inversa de A
y se representa por A-1.
Si existe
la matriz inversa de A, se dice que la matriz A
es inversible o regular. En caso contrario, se dice que la
matriz A es singular.
¿Cuándo
tiene inversa una matriz? Una matriz A de orden n
(n filas y n columnas) tiene inversa cuando su rango es n,
es decir, cuando el rango de dicha matriz coincide con su orden.
¿Cómo se
puede calcular la inversa de una matriz? Básicamente
hay tres procedimientos para calcular la inversa de una matriz. Son los
siguientes:
1º Aplicando
la definición y resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.
Resulta muy laborioso cuando el orden de la matriz es superior a 2.
2º Por
el método de Gauss.
3º Por determinantes
y adjuntos (que describiremos en la unidad de determinantes).
En esta
unidad nos centraremos principalmente en el método de Gauss.
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12. CALCULO
DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ APLICANDO LA DEFINICIÓN
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La
siguiente escena describe como se calcula la inversa de una matriz de
orden 2 o de orden 3 aplicando la definición.
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Este
procedimiento es bastante laborioso y poco recomendable cuando el orden de la
matriz es mayor que 2, pues, por ejemplo, para una matriz de orden
3 hay que resolver 3 sistemas de ecuaciones lineales, cada
uno de ellos con tres ecuaciones y tres incógnitas.
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13. CALCULO
DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE GAUSS
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Para
calcular la inversa de una matriz cuadrada A, aplicando
el método de Gauss, construimos, en primer lugar, la
matriz ( A | I ), siendo I la matriz identidad
del mismo orden que A. Después de realizar diversas operaciones
sobre las filas de ésta nueva matriz, tendremos que conseguir que se
transforme en la siguiente ( I | B ). La matriz B
será la inversa de la matriz A, es
decir: B = A-1.
Las
operaciones que podemos realizar con las filas de la citada matriz son:
a)
Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero.
b) Sumarle
a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.
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En las
escena inferior izquierda se describe el proceso, paso a paso mediante un
ejemplo, para calcular lainversa de una matriz de
orden 3 aplicando el método de Gauss.
Al pulsar
sobre los botones de la parte inferior derecha se abren sendas escenas que
permiten calcular la inversa de cualquier matriz de orden 2
o 3 por el método de Gauss, también con una descripción de los
pasos realizados.
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