Determinantes y Matrices

   Definición de matriz de números.

   Una matriz  orden (m ´ n)  es un conjunto de m ´ n  números ordenados en una tabla:

en donde podemos apreciar horizontalmente las filas, fila 1: (), fila 2: ( ), etc.  Mientras que verticalmente se habla de columnas: columna 1, columna 2, etc.

  Por tanto, una matriz de orden (m ´ n)  tiene m filas y n columnas. En caso de que el número de filas y el de columnas sea el mismo se habla de matriz cuadrada.

  Las matrices cuadrada tienen dos diagonales, de las cuales sobre un ejemplo vemos la que se llama "diagonal principal" de la matriz:

   Para tratarlas teóricamente las matrices se suelen expresar en forma abreviada así:

es decir, con un nombre propio y dos subíndices, aij, siendo el primer subíndice -en nuestro caso el i- el correspondiente a la fila i-ésima, cuyo recorrido va desde 1 hasta m; y el segundo subíndice -en nuestro caso la j- es el correspondiente a la columna j-ésima, cuyo recorrido va desde 1 hasta n. El alumno debe ser muy consciente de este significado de los índices.

  Operaciones con  matrices.

  *  ADICIÓN:

  Sean A y B son dos matrices del mismo orden , entonces la matriz suma S = A + B es:

   es decir, se suman los correspondientes elementos (i,j) de A con los (i,j) de B. Ejemplo:

  *  PRODUCTO POR UN ESCALAR:

    Sea A una matriz y  k un escalar (un número real), entonces la matriz   B =  k A es:

  es decir, se multiplica cada elemento de la matriz A por el número k. Ejemplo:

Considerando esto, podemos hablar de la RESTA de dos matrices A - B, como la suma de A con el producto de (-1)B, lo cual equivale a restar los correspondientes elementos (i,j) de A con los (i,j) de B.

  

  *  PRODUCTO DE MATRICES:

   Sea A una matriz de orden (m ´ n), y B una matriz de orden (n ´ r), entonces la matriz producto, es una matriz  P = A . B   de orden (m ´ r):

     

 (Observe el alumno cómo para obtener el elemento pij, se multiplican cada elemento de la fila i de A por cada elemento respectivo de la columna j de B). Tomemos como ejemplo las matrices A , tipo (3 ´ 2), y B, tipo (2 ´ 4):

 Así obtenemos   P = A . B,  cuyo resultado es:

en la que se han ido obteniendo los elementos multiplicando fila de A por columna de B (por ejemplo):

  Mejor veámoslo gráficamente:

  Propiedades del producto de matrices:

• El producto de dos matrices de orden (n ´ n), es una matriz tipo (n ´ n).
• En general A . B ¹ B . A  (el producto no es conmutativo)
• El producto es asociativo A . (B . C) = (A . B) . C

 
    Matrices cuadradas.

  Las matrices cuadradas juegan un papel fundamental en el cálculo matricial. En ellas el número de filas es el mismo que el de columnas:

en este caso hablaremos de "matriz cuadrada de orden n". Dadas dos matrices A y B que sean del mismo orden (orden n, por ejemplo), podemos realizar A+B y A.B, puesto que el producto de dos matrices de orden n es otra matriz de orden n.

  *  Matriz identidad (orden n):

   Es una matriz cuadrada (orden n), representada como In, en la que todos sus elementos son 0, excepto los de la diagonal principal, que son unos:

  Esta matriz cumple la siguiente propiedad:      A . In = In . A = A

es decir, al multiplicarla por cualquier matriz A, vuelve a dar la misma A. En otras palabras, In representa el elemento unitario para el producto de matrices. Teniendo en cuenta ello, puede hablarse de matriz inversa de una matriz dada. 

  En concreto, sea A una matriz cuadrada (orden n), diremos que A es inversible si existe otra matriz B tal que:

A . B = B . A = In 

en este caso, a la matriz B la llamaremos inversa de A, y la representaremos A¯¹, así podremos expresar mejor:

A . A¯¹ = A¯¹. A = In 

  No para toda matriz A puede encontrarse su matriz inversa, enseguida veremos las condiciones que deben cumplir las matrices para ser inversibles, antes veamos un repaso de otras matrices  notables.

  * Matrices especiales

   Matriz traspuesta de A:

   (NOTA: El concepto de matriz traspuesta no es exclusivo de Matrices cuadradas.) Sea una matriz A de orden (m ´ n), se llama "matriz traspuesta de A", a una matriz, ^tA, de orden (m ´ n), obtenida a partir de A, cambiando filas por columnas. 

  Por ejemplo:

  Las matrices traspuestas tienen especial importancia para Matrices cuadradas.

     Propiedades de matrices traspuestas:

    1.  ^t(^tA) = A
    2.  ^t(A + B) = ^tA + ^tB
    3.  ^t(A . B) = ^tB . ^tA

   Matriz simétrica:

   Una matriz A es "simétrica" si coincide con su traspuesta, es decir si:  A = ^tA. Por ejemplo:

Observe cómo los elementos en posiciones simétricas, respecto de la diagonal principal, son iguales.

    Matriz antisimétrica:

   Una matriz A es "antisimétrica" si su opuesta coincide con su traspuesta, es decir si :  -A = ^tA. Por ejemplo:

Observe cómo los elementos en posiciones simétricas, respecto de la diagonal principal, son iguales pero con signo opuesto. Los elementos de la diagonal principal son todos 0 (son iguales a sí mismo con signo opuesto)

  Matriz ortogonal:

  Una matriz A es "ortogonal" si su inversa es igual a su transpuesta, es decir: A¯¹ = ^tA. En este caso, también se tiene que: A . ^tA = In .
 

  Matriz inversa de una matriz cuadrada.

   Antes de comenzar el alumno debería repasar el tema de matrices, en especial la cuestión sobre menores complementarios y adjuntos.

   Sea la matriz cuadrada:

si su determinante, |A|, es no nulo, entonces diremos que la matriz A es inversible, es decir, existe una matriz inversa, A¯¹ , tal que:

A . A¯¹ = A¯¹. A = In

  Es posible comprobar que la matriz inversa de una matriz inversible A es:

siendo los Aij los adjuntos de los elementos de la matriz, pero ATENCIÓN: Observe como  la matriz de arriba está formada por la transpuesta de los adjuntos de los elementos de A. A (esa matriz suele llamarse "traspuesta de la adjunta de A" es decir: ^tA*).

  Vamos a hallar, como ejemplo, la inversa de la matriz:

teniendo en cuenta que su determinante es, |A| = -49, y por tanto A es inversible, pasamos a hallar los adjuntos: 

y por tanto, la matriz inversa de A es:

El alumno puede comprobarlo haciendo el producto A . A¯¹ y observar que se obtiene la matriz identidad de orden 3.

  6.5  Rango de una matriz (cuadrada o no).

  Sea una matriz (m ´ n):

  

antes de dar la definición de rango de A vamos a ver dos definiciones previas:

  *  Submatriz cuadrada (orden h) de A:

 Es la matriz cuadrada (h ´ h) formada por los elementos comunes a h filas y  h columnas, con h£n,  h£m.

  *  Menores (orden h) de A:

   Son los determinantes de las submatrices cuadradas (orden h) de A. 

  Entonces rango de la matriz A, r(A), es el número que expresa el orden del mayor Menor no nulo de la matriz A. (Atención a la anti-redundancia "mayor Menor")

   Por ejemplo, veamos el rango de la matriz A:

se tiene que r(A) = 3, puesto que al menos hay un menor de orden 3 no nulo:

y por supuesto no es posible tomar menores de orden 4 ó mayores porque sólo hay tres filas.

  El rango de Matrices es fundamental para el cálculo algebraico en espacios vectoriales, aplicaciones lineales y en sistemas de ecuaciones lineales.