Operaciones con números complejos ~ Álgebra Lineal

Operaciones con números complejos

Las operaciones que podemos realizar con los números complejos son las siguientes:

Suma

Para sumar dos números complejos simplemente sumamos cada elemento en forma separada. Es decir que:

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

Así, por ejemplo

(2 + 2 i) + (1 + 5 i) = 3 + 7 i

Producto por escalar

Para calcular el producto escalar de un número complejo, multiplicamos al escalar por cada una de sus partes, la real y la imaginaria. Es decir que:

r (a + b i) = (r a) + (r b) i

Así, por ejemplo

3 (2 + 3 i) = 6 + 9 i

Multiplicación

Para multiplicar dos números complejos, debemos realizar su multiplicación binomial. Es decir que:

(a + b i) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2}

En este punto, debemos recordad que

i^{2}

es igual a -1; lo que nos facilita la solución del cálculo de la multiplicación. También existe una formula más simple para obtener el resultado de la multiplicación de dos números complejos, que es:

(a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i

Así, por ejemplo

(3 + 2 i) (2 + 6 i) = (3 \times 2 - 2 \times 6) + (3 \times 6 + 2 \times 2) i = - 6 + 22 i

Igualdad

Dos números complejos van a ser iguales si y solo si sus partes reales e imaginarias son iguales. Es decir que:

(a + b i) = (c + d i) ⟺a = c\landb = d

Así, por ejemplo

(3 + 2 i) = (3 + 2 i)

, ya que 3 = 3 y 2 = 2.

Resta

La resta de dos números complejos, funciona de forma similar a la suma.

(a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i

Así, por ejemplo

(2 + 2 i) - (1 + 5 i) = 1 - 3 i

Conjugado

El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo de su componente imaginario. Por lo tanto, el conjugado de un número complejo

z = a + b i

, es

\bar{z} = a - b i

Para expresar que estamos buscando el conjugado, escribimos una línea sobre el número complejo. Así, por ejemplo

\bar{2 + 3 i} = 2 - 3 i

División

Para dividir dos números complejos, debemos utilizar el conjugado; ya que para realizar la división debemos multiplicar tanto el divisor como el dividendo por el conjugado del divisor. Así, por ejemplo si quisiéramos dividir:

\frac{2 + 3 i}{4 - 5 i}

Debemos realizar el siguiente cálculo:

\frac{2 + 3 i}{4 - 5 i} \times \frac{4 + 5 i}{4 + 5 i}

y teniendo en cuenta que la multiplicación de un número complejo por su conjugado, responde a la formula:

(a + b i) (a - b i) = a^{2} + b^{2}

Podemos resolver la división de la siguiente forma:

\frac{2 + 3 i}{4 - 5 i} \times \frac{4 + 5 i}{4 + 5 i} = \frac{8 + 10 i + 12 i + 15 i^{2}}{16 + 25} = \frac{- 7 + 22 i}{41}

Lo que nos lleva al resultado final:

= \frac{- 7}{41} + \frac{22}{41} i

Para simplificar el procedimiento, y no tener que realizar tantos cálculos, podríamos utilizar la siguiente formula:

Álgebra Lineal