Extructuras

Estructuras algebraicas
  Dado un conjunto y una operación interna definida en él, hay ciertas estructuras algebraicas que vienen definidas según las diversas propiedades que cumplen. 
  SEMIGRUPO:
  Se trata de un conjunto S con una operación *, (S, *),  que verifica las propiedades:
 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.
   GRUPO:
   Es un conjunto G con una operación *, (G, *), que verifica las propiedades:
 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.
 3)  Hay elemento neutro para *.
 4)  Todo elemento de G tiene su inverso para *.
      SUBGRUPO:
       Dado un grupo G, una parte C de G se llama subgrupo de G si C tiene estructura de Grupo para la operación *. Es decir el elemento neutro de * está en C (3) y todo elemento de C tiene su inverso en C (4).
   La condición necesaria y suficiente para que C sea subgrupo puede expresarse así:

  GRUPO ABELIANO (Conmutativo):
   Es un conjunto G con una operación  *, (G, *), que verifica las propiedades:
 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.
 3)  Hay elemento neutro para *.
 4)  Todo elemento de G tiene su inverso para *.
 5)  * es conmutativa.
   ANILLO:
  Es un conjunto A con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 
 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *.
 5a)  * es conmutativa.   -- (A, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.     -- (A, º) es un semigrupo ---
 1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)
    ANILLO CONMUTATIVO:
  Es un conjunto A con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 
 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *.
 5a)  * es conmutativa.   -- (A, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.     -- (A, º) es un semigrupo ---
 3b)   º es conmutativa.
 1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)
   CUERPO:
  Es un conjunto  C con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 
 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *.
 5a)  * es conmutativa.   -- (C, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.   
 3b)   Hay elemento neutro para º.
 4b)  Todo elemento de A (excepto el neutro para *) tiene su inverso para º.  -- (C, ª) es un grupo (si exceptuamos al elemento neutro para *)--
  1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)
  CUERPO CONMUTATIVO:
  Es un conjunto  C con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 
 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *.
 5a)  * es conmutativa.   -- (C, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.   
 3b)    Hay elemento neutro para º.
 4b)  Todo elemento de A (excepto el neutro para *) tiene su inverso para º. 
 5b)  º es conmutativa.   -- (si exceptuamos al elemento neutro para *) (C, *) es un grupo abeliano--
  1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)