extructuras algebraicas

En matem´aticas aparecen distintos conjuntos cuyos elementos podemos operar de alguna manera. Los conjuntos de n´umeros usuales: N,Z, Q, y R son unos ejemplos claros. Otros ejemplos pueden ser el conjunto de matrices o de polinomios; en estos casos podemos sumar y multiplicar sus respectivos elementos. Las biyecciones de un conjunto sobre si mismo son suceptibles de ser compuestas unas con otras, lo que es otro ejemplo de operaci´on entre los elementos de un conjunto, en este caso el conjunto de biyecciones. Por otro lado es f´acil observar que operaciones distintas sobre conjuntos distintos tienen propiedades an´alogas. Estas analog´ıas permiten englobar en una misma ”categor´ıa” a distintos conjuntos con operaciones diversas. Estas categor´ıas es lo que llamaremos estructuras algebraicas (en concreto, estructura de Grupo, Anillo o Cuerpo). Se pueden estudiar de forma abstracta y despu´es sacar conclusiones sobre ellas. Con esta informaci´on se pueden buscar aplicaciones. Lo anterior es lo que vamos a desarrollar en los siguientes temas.

Introducci´on al Algebra. ´ Definici´on 1. Dado un conjunto C una aplicaci´on ∗ definida por ∗ : C × C → C (a, b) → a ∗ b ∈ C. que relaciona a un par de elementos a, b ∈ C con otro elemento de C (que notamos a ∗ b) es lo que llamamos una operaci´on. Nos vamos a fijar en algunas propiedades usuales que suelen tener las operaciones. No siempre una operaci´on tendr´a todas las propiedades. Seg´un se cumplan unas u otras estaremos delante de distintos tipos de estructuras. Propiedades Sea (C, ∗) un conjunto sobre el que hay definida una operaci´on ∗. Si a ∗ b = b ∗ a para todo par a, b ∈ C, se dice que la operaci´on es conmutativa. Si (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para todo a, b, c ∈ C, se dice que la operaci´on es asociativa (aqu´ı los par´entesis indican prioridad en la operaci´on).