Bases y Dimensiones

Base y dimensión de un espacio vectorial

Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.

* S genera a V.

* S es linealmente independiente

Una base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.

Base

En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.

La base es natural, estándar o canónica si los vectores v₁, v₂,…, v_n forman base para Rⁿ.

Si S={v₁, v₂,…, v_n} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:

1.      V = c₁v₁+ c₂v₂+…+ c_nv_n

2.      V = k₁v₁+ k₂v₂+…+ k_nv_n

Restar 2-1

            0 = (c₁- k₁) v₁+(c₂- k₂) v₂+…+(c_n- k_n) v_n

Ejemplo: 

demostrar si S = {v₁, v₂,…, v₃} es base de R³, v₁ = (1,2,1); v₂ = (2,9,0); v₃ = (3,3,4)

Proponer vector arbitrario, combinación lineal

b = c₁v₁+ c₂v₂+ c₃v₃

(b₁, b₂, b₃) = c₁(1,2,1)+ c₂(2,9,0)+ c₃(3,3,4)

(b₁, b₂, b₃) = c₁+2c₂+3c₃;2c₁+9c₂+3c₃; c₁+4c₃

c₁    + 2c₂ + 3c₃ = b₁                                      det A = [(1*9*4)+(2*3*1)+0]-[(1*9*3)+0+(4*2*2)]

2c₁ + 9c₂ + 3c₃ = b₂                  = [36+6]-[27+16]

  c₁               + 4c₃ = b₃          = -1                                     Si genera a R³