MENORES Y COFACTORES.
En esta sección se calcularán determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento.
Se llama menor del elemento aik de un determinante D de
 al determinante Mik de orden  que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna k de D. |
Ejemplo 1.
Obtener los menores M13 y M21 del determinante D de 
.
.
Para M13 eliminamos el renglón 1 y la columna 3 para obtener
De la misma forma, se elimina el renglón 2 y la columna 1 para tener
Se llama cofactor del elemento aik del determinante D, al menor Mik con el signo (-1)i+k y se denota Aik, esto es
 (1) |
Ejemplo 2.
Obtenga los cofactores A13 y A21 del determinante D dado:
De acuerdo con la fórmula (1) el cofactor A13 está dado por
Y de la misma forma
Expansión por cofactores de un determinante.
Se puede probar el siguiente
Teorema
Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes.
Esto es
 (2)
es el desarrollo del determinante D por el renglón i, y similarmente
 (3)
es el desarrollo del determinante D por la columna k.
|
Las expresiones (2) y (3) son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas.
Ejemplo 3.
Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante D.
Para expandir D, por cofactores del segundo renglón, calculamos primero los cofactores A21, A22 y A23 de los elementos del segundo renglón.
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Entonces
Ejemplo 4.
Desarrollar por cofactores de la primera columna y calcular el valor del determinante D del ejemplo 3 para verificar que obtenemos el mismo valor.
Para expandir por cofactores de la primera columna, primero evaluamos los cofactores A11, A21, A31 de los elementos de la primera columna:
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Entonces
Ejemplo 5.
Considere la matriz A y calcule su determinante det A
Para evaluar el determinante de A usamos la fórmula (2) que permite desarrollar un determinante por cofactores de una columna. Observe que la primera columna de A consta de tres ceros y un 2. Desarrollando por la columna (1) se tiene
Aún falta evaluar el determinante de 3x3, que desarrollamos por cofactores de la columna 3 porque dos de sus elementos son ceros, entonces
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